Bilangan Bulat

Indikator

Membandingkan dan Mengurutkan Bilangan Bulat

Pengertian Bilangan Bulat

Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan bilangan negatifnya. Sedangkan bilangan cacah adalah bilangan yang dimulai dari angka 0 ,1, 2, 3, 4, ... (Maksud dari  titik-titik adalah dan seterusnya sampai tak terhingga).

Negatif dari bilangan cacah adalah -1, -2, -3, -4 .... mengapa -0 tidak dituliskan? Karena -0 = 0 jadi tidak dituliskan sebagai negatif bilangan cacah. 

Jadi dapat disimpulkan bahwa komponen dari bilangan bulat adalah ... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... 

Bilangan bulat disebut sebagai bilangan bulat karena ia tidak memiliki anggota pecahan dan desimal. 

Sampai sini sudah paham ya pengertian dari bilangan bulat?

Lambang Bilangan Bulat

Bilangan bulat dilambangkan dengan huruf “Z” yang berasal dari bahasa jerman Zahlen yang artinya bilangan. 

Anggota bilangan bulat

Bilangan bulat terdiri dari tiga jenis anggota. Anggotanya antara lain :

Bilangan Bulat Positif

Bilangan bulat positif adalah bilangan bulat yang letaknya berada di sebelah kanan 0 (nol) pada garis bilangan bulat. Jadi 1, 2, 3, 4, .... merupakan bilangan bulat positif.

Bilangan Bulat Negatif

Bilangan bulat negatif adalah bilangan yang letaknya berada di sebelah kiri 0(nol) pada garis bilangan. Jadi -1, -2, -3, -4, ... merupakan bilangan bulat negatif. 

0 (Nol)

Nol tidak termasuk anggota bilangan bulat positif dan negatif. Dia berdiri sendiri. Sehingga anggota bilangan bulat adalah bilangan bulat postif, nol, dan bilangan bulat negatif.

Garis Bilangan Bulat

Contoh Bilangan Bulat

Bilangan bulat banyak digunakan dalam kehidupan kita sehari-hari. Berikut adalah contoh-contoh bilangan bulat yang biasa kita gunakan :

1. Untuk pengukuran suhu. Suhu di Kota Jakarta siang ini sebesar 24 derajat celcius sedangkan suhu di kutub utara -34 derajat celcius. Angka 24 dan -34 tersebut merupakan bilangan bulat.
2. Sebagai pengukur kedalaman laut. Jika kita menyatakan kedalaman 25 meter di bawah permukaan laut, maka yang ditulis adalah -25 meter. Angka -25 merupakan bilangan bulat negatif.
3. Untuk menyatakan jumlah. Pernahkah adik-adik ke kebun binatang? Disana terdapat banyak sekali binatang. Coba hitung berapa jumlah jerapah di kebun binatang tersebut? Misalkan jumlah jerapahnya 15 ekor. Maka angka 15 merupakan bilangan bulat positif.

Membandingkan bilangan bulat

Sekarang kita belajar cara membandingkan bilangan bulat. Jika kita ingin membandingkan bilangan bulat kita dapat membandingkan dengan cara melihat dari garis bilangan. Semakin ke kanan maka semakin besar, sebaliknya jika semakin ke kiri nilai bilangan tersebut semakin kecil.

Untuk membandingkan dua bilangan bulat digunakan simbol sebagai berkut :

Simbol lebih dari “>”

Simbol ini dibaca “lebih dari”. Maka simbol ini menyatakan angka di sebelah kiri dari simbol “>” nilainya lebih besar dari angka di sebelah kanan simbol “>”. Contoh : 6 > 3 maka dibacanya adalah 6 lebih dari 3.

Simbol kurang dari “<”

Simbol ini dibaca “kurang dari”. Maka simbol ini menyatakan angka di sebelah kiri simbol “<” nilainya lebih kecil dari angka di sebelah kanan simbol “<”. Contoh 7 < 9 maka dibacanya adalah 7 kurang dari 9.

Simbol sama dengan “=”

Simbol ini dibaca “sama dengan” maka simbol ini menyatakan nilai angka disebelah kiri simbol “=” nilainya sama besar dengan angka disebelah kanan simbol “=”.

Membandingkan dua bilangan bulat bernilai besar

Untuk membandingkan dua bilangan bulat yang besar sangat repot sekali jika kita menggunakan garis bilangan. Misal kita ingin membandingkan mana yang lebih besar antara 23.546 dengan 23.666 jika dibuat garis bilangannya akan sangat panjang sekali.

Untuk mempermudah kalian membandingkan maka dibuatlah tabel berikut :

Tabel Nilai Angka Pada Bilangan

Dari tabel di atas kita dapat membandingkan dua bilangan bulat bernilai besar berdasarkan posisi dan nilai angkanya. Jadi kita tidak perlu membuat garis bilangan yang sangat panjang sekali.

Contoh 1 :

Manakah yang lebih besar dari A = 6585467 dengan B = 6536588 ? Jelaskan.

Untuk menjawab soal ini pertama yang kita lakukan adalah :

Menentukan posisi dari masing-masing angka.

Gampangnya begini, buat angka-angka tersebut menjadi urutan nilai uang. Nilai A jika diurutkan akan menjadi 6.585.467 dibaca enam juta lima ratus delapan puluh lima ribu empat ratus enam puluh tujuh.

Nilai B jika diurutkan menjadi 6.536.588 dibaca enam juta lima ratus tiga puluh enam ribu lima ratus delapan puluh delapan.

Setelah diurutkan ternyata nilai A dan B sama-sama bernilai jutaan. Jadi yang dilakukan selanjutnya adalah mencari dimana posisi angka yang berbeda pertama kali dari kiri ke kanan.

Mencari Posisi angka yang berbeda

Posisi Jutaan sama-sama bernilai 6

Posisi ratusan ribu sama-sama bernilai 5

Posisi puluhan ribu berbeda.

Setelah dicari ternyata angka yang berbeda pertama kali adalah angka 8 di posisi puluhan ribu pada A dan angka 3 di posisi puluhan ribu pada B. jadi yang berbeda adalah angka 8 dan angka 3.

Selanjutnya tinggal melihat garis bilangan. Manakah yang lebih besar dari 8 dan 3? 

Menurut garis bilangan angka 8 lebih besar dari angka 3, yang berarti nilai A lebih besar dari nilai B.

Maka Jawabannya adalah A > B

Contoh 2 :

Rudi dan Sinta memiliki dua bilangan yang berbeda. Rudi memiliki bilangan yang terdiri dari  9 angka dengan susunan pqrstuvwx. Sedangkan Sinta memiliki bilangan yang terdiri dari 8 angka dengan susunan pqrstuvw. Maka tentukanlah :

1. Bilangan siapakah yang lebih besar jika kedua bilangan adalah bilangan bulat positif? Jelaskan.
2. Bilangan siapakah yang lebih kecil jika kedua bilangan merupakan bilangan bulat negatif? Jelaskan.

Pembahasan :

1. Dikarenakan kedua bilangan merupakan bilangan bulat positif, maka bilangan Rudi > Sinta. Karena Rudi lebih banyak angka penyusunnya. (Untuk bilangan bulat positif semakin banyak angka penyusunnya maka semakin besar nilainya.)
2. Dikarenakan kedua bilangan merupakan bilangan bulat negatif, maka bilangan Rudi < Sinta. Karena Rudi lebih banyak angka penyusunnya. (Untuk bilangan bulat negatif semakin banyak angka penyusunnya maka semakin kecil nilainya.)

Operasi Bilangan Bulat

Bilangan bulat memiliki empat operasi matematikanya. Diantaranya adalah :

Operasi Penjumlahan

Pada operasi penjumlahan terdapat dua jenis, yaitu:

Penjumlahan dua bilangan bulat bertanda sama. Penjumlahan ini tejadi jika kedua bilangan memiliki tanda yang sama yaitu sama-sama bilangan positif dan sama-sama bilangan negatif. Rumusnya adalah :

1. Jika bilangan bulat positif (+) ditambahkan dengan bilangan bulat positif (+) hasilnya = bilangan bulat positif (+).  Contoh : 327 + 234 = 561
2. Jika bilangan bulat negatif (-) ditambahkan dengan bilangan bulat negatif (-) hasilnya = bilangan bulat negatif (-). Contoh : - 452 + (- 212) = -(452 + 212) = - 664

Penjumlahan dua bilangan bulat tanda berlawanan. Penjumlahan ini terjadi jika kedua bilangan berbeda tandanya, yang satu bertanda positif, yang lainnya bertanda negatif. Rumusnya adalah :

-a + b = b – a

Contoh 1 : -23 + 42 = 42 – 23 = 19.
Contoh 2 : -42 + 23 = 23 – 42 = - 19

a + (- b) = a – b. 

Contoh 1 : 23 + (- 42) = 23 – 42 = -19. 

Contoh 2 : 42 + (- 23) = 42 – 23 = 19

Contoh soal :

Hitunglah hasil penjumlahan bilangan bulat berikut ini :

1. 343 + 72 = 
2. -72 + 15 =
3. 65 + (-81) =
4. -33 + (-45) =
5. -77 + 55 =
6. 42 + (-28) =
7. -25 + 72 =
8. -37 + (-24) – 85 =
9. -44 + 56 + (-38) =
10. 78 – (-39) + (-55) =

Penyelesaian

1. 343 + 72 = 415
2. -72 + 15 = 15 – 72 = -57
3. 65 + (-81) = 65 -81 = -16
4. -33 + (-45) = - (33 + 45) = -78
5. -77 + 55 = 55 – 77 = -22
6. 42 + (-28) = 42 – 28 = 14
7. -25 + 72 =72 – 25 = 47
8. -37 + (-24) – 85 = -37 – 24 – 85 = - (37 + 24 + 85) = - 146
9. -44 + 56 + (-38) = -44 + 56 – 38 = (56 - 44) – 38 = 12 – 38 = -26
10. 78 – (-39) + (-55) = (78 + 39) – 55 = 117 – 55 = 62

Pada Operasi Penjumlahan Bilangan bulat Berlaku dua sifat operasi hitung, yaitu

Sifat Komutatif. Sifat ini dapat disebut juga sebagai sifat pertukaran. Sifat ini hanya terdapat pada operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat. Untuk kali ini kita bahas yang untuk penjumlahan saja.

Rumus Sifat komutatif pada penjumlahan :

a + b = b + a

maksud dari rumus ini adalah penjumlahan dari a ditambah b hasilnya sama dengan penjumlahan b ditambah a. Biar lebih jelas perhatikan contoh berikut :

3 + 6 = 9

6 + 3 = 9

Jadi 3 + 6 = 6 + 3 ---> a + b = b + a

Sifat Asosiatif. Sifat ini dapat disebut nuga sebagai sifat pengelompokkan. Sifat ini juga hanya terdapat pada operasi perkalian dan penjumlahan. Berikut ini operasi yang digunakan pada penjumlahan.

Rumus sifat asosiatif pada penjumlahan

(a + b) + c = a + (b + c)

Maksud dari rumus ini adalah : penjumlahan dari (a + b) + c menghasilkan nilai yang sama dengan penjumlahan a + (b + c). Perhatikan contoh

(3 + 6) + 5 = 9 + 5 = 14   --->   (a + b) + c

3 + (6 + 5) = 3 + 11 = 14    --->   a + (b + c)

Dari kedua operasi di atas hasilnya sama.  

Contoh soal :

Isilah tabel- tabel yang kosong berikut ini :

Contoh soal sifat komutatif dan asosiatif

Penyelesaian :

1.  diketahui a = 2, b = -5, c= -14

a + b = 2 + (-5) =2 – 5 = -3

b + a = -5 + 2 = -3

(a + b) + c = ( 2 + (-5)) + (-14)

                  = (2 – 5) – 14

                  = -3 – 14 = -17

a + (b + c) = 2 + ( -5 + (-14))

                  = 2 + ( -5 – 14)

                  = 2 + ( -19)

                  = 2 – 19 = -17

2. diketahui a = 4, b = 8, c =-12

a + b = 4 + 8 = 12

b + a = 8 + 4 = 12

(a + b) + c = (4 + 8) + (-12)

                  = 12 + (-12)

                  = 12 – 12 = 0

a + (b + c) = 4 + (8 + (-12))

                  = 4 + (8-12)

                  = 4 + (-4)

                  = 4 – 4 = 0

3. diketahui a =5, b = 4, c = 17

a + b = 5 + 4 = 9

b + a = 4 + 5 = 9

(a + b) + c = (5+4) + 17

                  = 9 + 17 = 26

a + (b+c) = 5 + (4 + 17)

                = 5 + 21 = 26

4. diketahui a = -4, b = -3, c = 11

a + b = -4 + (-3) = -4 - 3 = -7

b + a = -3 + (-4) = -3 – 4 = -7

(a + b) + c = (-4 + (-3)) + 11

                  = (-4 – 3) + 11

                  = -7 + 11 = 4

a + (b + c) = -4 + (-3 + 11)

                  = -4 + 8 = 4

5. diketahui a = -5, b = -6, c = -12

a + b = -5 + (-6) = -5 – 6 = -11

b + a = -6 + (-5) = -6 – 5 = - 11

(a + b) + c = ( -5 + (-6)) + (-12)

                  = (-5 – 6 ) – 12

                  = -11 – 12 = - 23

a + (b + c) = -5 + (-6 + (-12))

                  = -5 + (-6 – 12)

                  = -5 + (-18)

                  = -5 – 18 = -23

Berikut ini tabel yang sudah diselesaikan :

Jawaban contoh soal sifat komutatif dan asosiatif

Operasi Pengurangan

Pada operasi pengurangan bilangan bulat rumusnya adalah

a – b = a + (-b)

maksud dari rumus ini adalah. jika a dikurangi b, maka hasilnya sama dengan a ditambahkan dengan lawan dari angka b. Untuk memperjelas lihat contoh :

1. 2 – 3 = 2 + (-3) = -1  ---> kondisi 1
2. 2 – (-3) = 2 + (3) = 2 + 3 = 5 ---> kondisi 2

dari kondisi 2 setelah kita masukan ke rumus maka angka 2 ditambahkan dengan lawan dari -3. jadi awalnya 2 – (-3) setelah dimasukkan ke rumus menjadi 2 + (3).

Contoh :

Hitunglah pengurangan bilangan bulat berikut ini :

1. 2 – 3 =
2. 5 – (-9) =
3. -5 – 4 =
4. -6 – (-4) =
5. Diketahui 12 – p = 10, berapakah nilai p – 5?

Penyelesaian

1. 2 – 3 = -1
2. 5 – (-9) = 5 + 9 = 14
3. -5 – 4 = -9
4. -6 – (-4) = -6 + 4 = 2
5. 12 – p = 10 | -p =10 – 12 | -p = -2 | p = 2 | p – 5 = ? | -2 – 5 = -7

Operasi Perkalian

Kali ini kita akan membahas operasi perkalian.  Perkalian merupakan operasi penjumlahan yang berulang. Untuk lebih jelas perhatikan contoh berikut :

1. 3 x 4 berarti penjumlahan angka 4 sebanyak 3 kali. maka 3 x 4 = 4 + 4 + 4 = 12
2. 4 x 3 berarti penjumlahan angka 3 sebanyak 4 kali, maka 4 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12

meskipun hasilnya sama, perkalian diatas memiliki arti yang berbeda. persamaan umum dari perkalian adalah :

n x a = a + a + a ... + a (sebanyak n kali)

Sifat- Sifat Perkalian Bilangan Bulat

Perkalian bilangan bulat memiliki sifat-sifat sebagai berikut :

Unsur Identitas. Unsur identitas perkalian adalah 1 karena berapapun bilangan yang dikalikan 1 selalu menghasilkan bilangan itu sendiri.

b x 1 = 1 x b = b 

Contoh :

1. 12 x 1 = 1 x 12 = 12
2. (-4) x 1 = 1 x (-4) = -4

Sifat Perkalian Bilangan Bulat berdasarkan tandanya

Perkalian bilangan bulat berdasarkan tandanya memiliki 4 jenis sifat. Diantaranya adalah :

Perkalian positif (+) dengan positif (+), menghasilkan bilangan positif. Perhatikan contoh :

1.  2 x 3 = 6
2. 4 x 4 = 16
3. 5 x 7 = 35

Perkalian positif (+) dengan negatif (-), menghasilkan bilangan negatif. Perhatikan contoh :

1. 3 x (-2) = -6
2. 4 x (-7) = -28
3. 2 x (-9) = -18

Perkalian bilangan negatif (-) dengan positif (+), menghasilkan bilangan negatif. Perhatikan contoh :

1. - 4 x 5 = -20
2. -3 x 7 = -21
3. -5 x 3 = -15

Perkalian bilangan negatif (-) dengan negatif (-), menghasilkan bilangan positif (+). Contoh :

1. - 4 x (-4) = 16
2. -2 x (-8) = 16
3. -5 x (-6) = 30

Perkalian Bilangan Bulat Dengan Nol

Semua bilangan yang dikalian dengan nol (0) hasilnya akan selalu nol. Untuk lebih jelas perhatikan contoh :

1. 3 x 0 = 0
2. -3 x 0 = 0
3. 0 x 3 = 0
4. 0 x (-3) = 0

Sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat

Bilangan bulat memiliki beberapa sifat operasi perkalian, berikut ini akan kita bahas lebih dalam.

Sifat Komutatif. Sama seperti halnya penjumlahan, dalam perkalian pun memiliki sifat  komutatif atau pertukaran. rumusnya adalah :

a x b = b x a

maksud dari rumus tersebut adalah a dikalikan dengan b hasilnya sama dengan b dikalikan dengan a. Perhatikan contoh berikut ini :

1. 4 x 3 = 3 x 4 = 12
2. -5 x 6 = 6 x (-5) = -30

Sifat Asosiatif. Sifat ini dapat diartikan sebagai pengelompokkan. Rumusnya adalah :

(a x b) x c = a x (b x c)

maksud dari rumus di atas adalah Hasil dari perkalian (a x b) x c hasilnya sama dengan a x (b x c). Perhatikan contoh berikut :

1. (4 x 5) x 2 = 20 x 2 = 40
2. 4 x (5 x 2 ) = 4 x 10 = 40

Contoh soal :

Berdasarkan sifat komutatif dan asosiatif perkalian, Isilah tabel kosong di bawah ini :

Penyelesaian

1. Diketahui a =2, b = 4, c = 3

(a x b) = 2 x 4 = 8
(b x a) = 4 x 2 = 8
(a x b) x c = (2 x 4) x 3
         = 8 x 3 = 24
a x (b x c) = 2 x (4 x 3)
         = 2 x 12 = 24

2. Diketahui a = -3, b = 5, c= -6

(a x b) = -3 x 5 = -15
(b x a) = 5 x (-3) = -15
(a x b) x c =(-3 x 5) x (-6)
         = -15 x (-6) =90
a x (b x c) = -3 x (5 x (-6))
         = -3 x (-30) = 90

3. Diketahui a = 6, b = -3, c = 5

(a x b) = 6 x (-3) = -18
(b x a) = -3 x 6 = -18
(a x b) x c = (6 x (-3)) x 5
         = -18 x 5 = -90
a x (b x c) = 6 x (-3 x 5)
         = 6 x (-15) = -90

4. Diketahui a = 3, b = -2, c= -5

(a x b) = 3 x (-2) = -6
(b x a) = -2 x 3 = -6
(a x b) x c = (3 x (-2)) x (-5)
         = -6 x (-5) = 30
a x (b x c) = 3 x (-2 x (-5))
         = 3 x 10 = 30

5. Diketahui a = -4, b = -6, c = -7

(a x b) = -4 x (-6) = 24
(b x a) = -6 x (-4) = 24
(a x b) x c = (-4 x (-6)) x (-7)
         = 24 x (-7) = -168
a x (b x c) = -4 x (-6 x (-7))
         = -4 x 42 = -168



sumber : http://www.saibatin.com/2015/02/bilangan-bulat.html