Membandingkan dan Mengurutkan Bilangan Bulat
Pengertian Bilangan Bulat
Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan
bilangan negatifnya. Sedangkan bilangan cacah adalah bilangan yang
dimulai dari angka 0 ,1, 2, 3, 4, ... (Maksud dari titik-titik adalah
dan seterusnya sampai tak terhingga).
Negatif dari bilangan cacah adalah -1, -2, -3, -4 .... mengapa -0 tidak
dituliskan? Karena -0 = 0 jadi tidak dituliskan sebagai negatif bilangan
cacah.
Jadi dapat disimpulkan bahwa komponen dari bilangan bulat adalah ... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
Bilangan bulat disebut sebagai bilangan bulat karena ia tidak memiliki anggota pecahan dan desimal.
Sampai sini sudah paham ya pengertian dari bilangan bulat?
Lambang Bilangan Bulat
Bilangan bulat dilambangkan dengan huruf “Z” yang berasal dari bahasa jerman Zahlen yang artinya bilangan.
Anggota bilangan bulat
Bilangan bulat terdiri dari tiga jenis anggota. Anggotanya antara lain :
Bilangan Bulat Positif
Bilangan bulat positif adalah bilangan bulat yang letaknya berada di
sebelah kanan 0 (nol) pada garis bilangan bulat. Jadi 1, 2, 3, 4, ....
merupakan bilangan bulat positif.
Bilangan Bulat Negatif
Bilangan bulat negatif adalah bilangan yang letaknya berada di sebelah
kiri 0(nol) pada garis bilangan. Jadi -1, -2, -3, -4, ... merupakan
bilangan bulat negatif.
0 (Nol)
Nol tidak termasuk anggota bilangan bulat positif dan negatif. Dia
berdiri sendiri. Sehingga anggota bilangan bulat adalah bilangan bulat
postif, nol, dan bilangan bulat negatif.
![]() |
Garis Bilangan Bulat |
Contoh Bilangan Bulat
Bilangan bulat banyak digunakan dalam kehidupan kita sehari-hari.
Berikut adalah contoh-contoh bilangan bulat yang biasa kita gunakan :
- Untuk pengukuran suhu. Suhu di Kota Jakarta siang ini sebesar 24 derajat celcius sedangkan suhu di kutub utara -34 derajat celcius. Angka 24 dan -34 tersebut merupakan bilangan bulat.
- Sebagai pengukur kedalaman laut. Jika kita menyatakan kedalaman 25 meter di bawah permukaan laut, maka yang ditulis adalah -25 meter. Angka -25 merupakan bilangan bulat negatif.
- Untuk menyatakan jumlah. Pernahkah adik-adik ke kebun binatang? Disana terdapat banyak sekali binatang. Coba hitung berapa jumlah jerapah di kebun binatang tersebut? Misalkan jumlah jerapahnya 15 ekor. Maka angka 15 merupakan bilangan bulat positif.
Membandingkan bilangan bulat
Sekarang kita belajar cara membandingkan bilangan bulat.
Jika kita ingin membandingkan bilangan bulat kita dapat membandingkan dengan
cara melihat dari garis bilangan. Semakin ke kanan maka semakin besar,
sebaliknya jika semakin ke kiri nilai bilangan tersebut semakin kecil.
Untuk membandingkan dua bilangan bulat digunakan simbol
sebagai berkut :
Simbol lebih dari “>”
Simbol ini dibaca “lebih dari”. Maka simbol ini menyatakan
angka di sebelah kiri dari simbol “>” nilainya lebih besar dari angka di sebelah
kanan simbol “>”. Contoh : 6 > 3 maka dibacanya adalah 6 lebih dari 3.
Simbol kurang dari “<”
Simbol ini dibaca “kurang dari”. Maka simbol ini menyatakan
angka di sebelah kiri simbol “<” nilainya lebih kecil dari angka di sebelah
kanan simbol “<”. Contoh 7 < 9 maka dibacanya adalah 7 kurang dari 9.
Simbol sama dengan “=”
Simbol ini dibaca “sama dengan” maka simbol ini menyatakan nilai
angka disebelah kiri simbol “=” nilainya sama besar dengan angka disebelah
kanan simbol “=”.
Membandingkan dua bilangan bulat bernilai besar
Untuk membandingkan dua bilangan bulat yang besar sangat
repot sekali jika kita menggunakan garis bilangan. Misal kita ingin
membandingkan mana yang lebih besar antara 23.546 dengan 23.666 jika dibuat
garis bilangannya akan sangat panjang sekali.
Untuk mempermudah kalian membandingkan maka dibuatlah tabel
berikut :
![]() |
Tabel Nilai Angka Pada Bilangan |
Dari tabel di atas kita dapat membandingkan dua bilangan
bulat bernilai besar berdasarkan posisi dan nilai angkanya. Jadi kita tidak
perlu membuat garis bilangan yang sangat panjang sekali.
Contoh 1 :
Manakah yang lebih besar dari A = 6585467 dengan B = 6536588
? Jelaskan.
Untuk menjawab soal ini pertama yang kita lakukan adalah :
Menentukan posisi dari masing-masing angka.
Gampangnya begini, buat angka-angka tersebut menjadi urutan
nilai uang. Nilai A jika diurutkan akan menjadi 6.585.467 dibaca enam juta lima ratus delapan puluh lima ribu empat ratus enam
puluh tujuh.
Nilai B jika diurutkan menjadi 6.536.588 dibaca enam juta lima ratus tiga puluh enam ribu lima
ratus delapan puluh delapan.
Setelah diurutkan ternyata nilai A dan B sama-sama bernilai
jutaan. Jadi yang dilakukan selanjutnya adalah mencari dimana posisi angka yang
berbeda pertama kali dari kiri ke kanan.
![]() |
Mencari Posisi angka yang berbeda |
Posisi Jutaan sama-sama bernilai 6
Posisi ratusan ribu sama-sama bernilai 5
Posisi puluhan ribu berbeda.
Setelah dicari ternyata angka yang berbeda pertama kali
adalah angka 8 di posisi puluhan ribu pada A dan angka 3 di posisi puluhan ribu
pada B. jadi yang berbeda adalah angka 8 dan angka 3.
Selanjutnya tinggal melihat garis bilangan. Manakah yang
lebih besar dari 8 dan 3?
Menurut garis bilangan angka 8 lebih besar dari angka
3, yang berarti nilai A lebih besar dari nilai B.
Maka Jawabannya adalah A > B
Contoh 2 :
Rudi dan Sinta memiliki dua bilangan yang berbeda. Rudi memiliki bilangan yang terdiri dari 9 angka dengan susunan pqrstuvwx. Sedangkan Sinta memiliki bilangan yang terdiri dari 8 angka dengan susunan pqrstuvw. Maka tentukanlah :
Penjumlahan dua bilangan bulat bertanda sama. Penjumlahan ini tejadi jika kedua bilangan memiliki tanda yang sama yaitu sama-sama bilangan positif dan sama-sama bilangan negatif. Rumusnya adalah :
Contoh 2 : -42 + 23 = 23 – 42 = - 19
Rudi dan Sinta memiliki dua bilangan yang berbeda. Rudi memiliki bilangan yang terdiri dari 9 angka dengan susunan pqrstuvwx. Sedangkan Sinta memiliki bilangan yang terdiri dari 8 angka dengan susunan pqrstuvw. Maka tentukanlah :
- Bilangan siapakah yang lebih besar jika kedua bilangan adalah bilangan bulat positif? Jelaskan.
- Bilangan siapakah yang lebih kecil jika kedua bilangan merupakan bilangan bulat negatif? Jelaskan.
- Dikarenakan kedua bilangan merupakan bilangan bulat positif, maka bilangan Rudi > Sinta. Karena Rudi lebih banyak angka penyusunnya. (Untuk bilangan bulat positif semakin banyak angka penyusunnya maka semakin besar nilainya.)
- Dikarenakan kedua bilangan merupakan bilangan bulat negatif, maka bilangan Rudi < Sinta. Karena Rudi lebih banyak angka penyusunnya. (Untuk bilangan bulat negatif semakin banyak angka penyusunnya maka semakin kecil nilainya.)
Operasi Bilangan Bulat
Bilangan bulat memiliki empat operasi matematikanya. Diantaranya adalah :Operasi Penjumlahan
Pada operasi penjumlahan terdapat dua jenis, yaitu:Penjumlahan dua bilangan bulat bertanda sama. Penjumlahan ini tejadi jika kedua bilangan memiliki tanda yang sama yaitu sama-sama bilangan positif dan sama-sama bilangan negatif. Rumusnya adalah :
- Jika bilangan bulat positif (+) ditambahkan dengan bilangan bulat positif (+) hasilnya = bilangan bulat positif (+). Contoh : 327 + 234 = 561
- Jika bilangan bulat negatif (-) ditambahkan dengan bilangan bulat negatif (-) hasilnya = bilangan bulat negatif (-). Contoh : - 452 + (- 212) = -(452 + 212) = - 664
-a + b = b – aContoh 1 : -23 + 42 = 42 – 23 = 19.
Contoh 2 : -42 + 23 = 23 – 42 = - 19
a + (- b) = a – b.
Contoh 1 : 23 + (- 42) = 23 – 42 = -19.
Contoh 2 : 42 + (- 23) = 42 – 23 = 19Contoh soal :
Hitunglah hasil penjumlahan bilangan bulat berikut ini :
- 343 + 72 =
- -72 + 15 =
- 65 + (-81) =
- -33 + (-45) =
- -77 + 55 =
- 42 + (-28) =
- -25 + 72 =
- -37 + (-24) – 85 =
- -44 + 56 + (-38) =
- 78 – (-39) + (-55) =
- 343 + 72 = 415
- -72 + 15 = 15 – 72 = -57
- 65 + (-81) = 65 -81 = -16
- -33 + (-45) = - (33 + 45) = -78
- -77 + 55 = 55 – 77 = -22
- 42 + (-28) = 42 – 28 = 14
- -25 + 72 =72 – 25 = 47
- -37 + (-24) – 85 = -37 – 24 – 85 = - (37 + 24 + 85) = - 146
- -44 + 56 + (-38) = -44 + 56 – 38 = (56 - 44) – 38 = 12 – 38 = -26
- 78 – (-39) + (-55) = (78 + 39) – 55 = 117 – 55 = 62
Pada Operasi Penjumlahan Bilangan bulat Berlaku dua sifat operasi hitung, yaitu
Sifat Komutatif. Sifat ini dapat disebut juga sebagai
sifat pertukaran. Sifat ini hanya terdapat pada operasi penjumlahan dan
perkalian bilangan bulat. Untuk kali ini kita bahas yang untuk penjumlahan
saja.
Rumus Sifat komutatif pada penjumlahan :
a + b = b + a
maksud dari rumus ini adalah penjumlahan dari a ditambah b
hasilnya sama dengan penjumlahan b ditambah a. Biar lebih jelas perhatikan
contoh berikut :
3 + 6 = 9
6 + 3 = 9
Jadi 3 + 6 = 6 + 3 ---> a + b = b + a
Sifat Asosiatif. Sifat ini dapat disebut nuga sebagai
sifat pengelompokkan. Sifat ini juga hanya terdapat pada operasi perkalian dan
penjumlahan. Berikut ini operasi yang digunakan pada penjumlahan.
Rumus sifat asosiatif pada penjumlahan
(a + b) + c = a + (b + c)
Maksud dari rumus ini adalah : penjumlahan dari (a + b) + c
menghasilkan nilai yang sama dengan penjumlahan a + (b + c). Perhatikan contoh
(3 + 6) + 5 = 9 + 5 = 14
---> (a + b) + c
3 + (6 + 5) = 3 + 11 = 14
---> a + (b + c)
Dari kedua operasi di atas hasilnya sama.
Contoh soal :
Isilah tabel- tabel yang kosong berikut ini :
Penyelesaian :
1. diketahui a = 2, b
= -5, c= -14
a + b = 2 + (-5) =2 – 5 = -3
b + a = -5 + 2 = -3
(a + b) + c = ( 2 + (-5)) + (-14)
= (2 –
5) – 14
= -3 – 14 = -17
a + (b + c) = 2 + ( -5 + (-14))
= 2 + ( -5 – 14)
= 2 + ( -19)
= 2 – 19 = -17
2. diketahui a = 4, b = 8, c =-12
a + b = 4 + 8 = 12
b + a = 8 + 4 = 12
(a + b) + c = (4 + 8) + (-12)
= 12 + (-12)
= 12 – 12 = 0
a + (b + c) = 4 + (8 + (-12))
= 4 + (8-12)
= 4 +
(-4)
= 4 – 4 = 0
3. diketahui a =5, b = 4, c = 17
a + b = 5 + 4 = 9
b + a = 4 + 5 = 9
(a + b) + c = (5+4) + 17
= 9 + 17 = 26
a + (b+c) = 5 + (4 + 17)
= 5 + 21 = 26
4. diketahui a = -4, b = -3, c = 11
a + b = -4 + (-3) = -4 - 3 = -7
b + a = -3 + (-4) = -3 – 4 = -7
(a + b) + c = (-4 + (-3)) + 11
= (-4 – 3) + 11
= -7 + 11 = 4
a + (b + c) = -4 + (-3 + 11)
= -4 + 8 = 4
5. diketahui a = -5, b = -6, c = -12
a + b = -5 + (-6) = -5 – 6 = -11
b + a = -6 + (-5) = -6 – 5 = - 11
(a + b) + c = ( -5 + (-6)) + (-12)
= (-5 – 6 ) – 12
= -11 – 12 = - 23
a + (b + c) = -5 + (-6 + (-12))
= -5 + (-6 – 12)
= -5 + (-18)
= -5 – 18 = -23
![]() |
Jawaban contoh soal sifat komutatif dan asosiatif |
Operasi Pengurangan
Pada operasi pengurangan bilangan bulat rumusnya adalaha – b = a + (-b)maksud dari rumus ini adalah. jika a dikurangi b, maka hasilnya sama dengan a ditambahkan dengan lawan dari angka b. Untuk memperjelas lihat contoh :
- 2 – 3 = 2 + (-3) = -1 ---> kondisi 1
- 2 – (-3) = 2 + (3) = 2 + 3 = 5 ---> kondisi 2
Contoh :
Hitunglah pengurangan bilangan bulat berikut ini :
- 2 – 3 =
- 5 – (-9) =
- -5 – 4 =
- -6 – (-4) =
- Diketahui 12 – p = 10, berapakah nilai p – 5?
- 2 – 3 = -1
- 5 – (-9) = 5 + 9 = 14
- -5 – 4 = -9
- -6 – (-4) = -6 + 4 = 2
- 12 – p = 10 | -p =10 – 12 | -p = -2 | p = 2 | p – 5 = ? | -2 – 5 = -7
Operasi Perkalian
Kali ini kita akan membahas operasi perkalian. Perkalian merupakan operasi penjumlahan yang berulang. Untuk lebih jelas perhatikan contoh berikut :- 3 x 4 berarti penjumlahan angka 4 sebanyak 3 kali. maka 3 x 4 = 4 + 4 + 4 = 12
- 4 x 3 berarti penjumlahan angka 3 sebanyak 4 kali, maka 4 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12
n x a = a + a + a ... + a (sebanyak n kali)
Sifat- Sifat Perkalian Bilangan Bulat
Perkalian bilangan bulat memiliki sifat-sifat sebagai berikut :Unsur Identitas. Unsur identitas perkalian adalah 1 karena berapapun bilangan yang dikalikan 1 selalu menghasilkan bilangan itu sendiri.
b x 1 = 1 x b = bContoh :
- 12 x 1 = 1 x 12 = 12
- (-4) x 1 = 1 x (-4) = -4
Perkalian bilangan bulat berdasarkan tandanya memiliki 4 jenis sifat. Diantaranya adalah :
Perkalian positif (+) dengan positif (+), menghasilkan bilangan positif. Perhatikan contoh :
- 2 x 3 = 6
- 4 x 4 = 16
- 5 x 7 = 35
- 3 x (-2) = -6
- 4 x (-7) = -28
- 2 x (-9) = -18
- - 4 x 5 = -20
- -3 x 7 = -21
- -5 x 3 = -15
- - 4 x (-4) = 16
- -2 x (-8) = 16
- -5 x (-6) = 30
Perkalian Bilangan Bulat Dengan Nol
Semua bilangan yang dikalian dengan nol (0) hasilnya akan selalu nol. Untuk lebih jelas perhatikan contoh :- 3 x 0 = 0
- -3 x 0 = 0
- 0 x 3 = 0
- 0 x (-3) = 0
Sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat
Bilangan bulat memiliki beberapa sifat operasi perkalian, berikut ini akan kita bahas lebih dalam.Sifat Komutatif. Sama seperti halnya penjumlahan, dalam perkalian pun memiliki sifat komutatif atau pertukaran. rumusnya adalah :
a x b = b x amaksud dari rumus tersebut adalah a dikalikan dengan b hasilnya sama dengan b dikalikan dengan a. Perhatikan contoh berikut ini :
- 4 x 3 = 3 x 4 = 12
- -5 x 6 = 6 x (-5) = -30
(a x b) x c = a x (b x c)maksud dari rumus di atas adalah Hasil dari perkalian (a x b) x c hasilnya sama dengan a x (b x c). Perhatikan contoh berikut :
- (4 x 5) x 2 = 20 x 2 = 40
- 4 x (5 x 2 ) = 4 x 10 = 40
Contoh soal :
Berdasarkan sifat komutatif dan asosiatif perkalian, Isilah tabel kosong di bawah ini :
Penyelesaian
1. Diketahui a =2, b = 4, c = 3
(a x b) = 2 x 4 = 8
(b x a) = 4 x 2 = 8
(a x b) x c = (2 x 4) x 3
= 8 x 3 = 24
a x (b x c) = 2 x (4 x 3)
= 2 x 12 = 24
2. Diketahui a = -3, b = 5, c= -6
(a x b) = -3 x 5 = -15
(b x a) = 5 x (-3) = -15
(a x b) x c =(-3 x 5) x (-6)
= -15 x (-6) =90
a x (b x c) = -3 x (5 x (-6))
= -3 x (-30) = 90
3. Diketahui a = 6, b = -3, c = 5
(a x b) = 6 x (-3) = -18
(b x a) = -3 x 6 = -18
(a x b) x c = (6 x (-3)) x 5
= -18 x 5 = -90
a x (b x c) = 6 x (-3 x 5)
= 6 x (-15) = -90
4. Diketahui a = 3, b = -2, c= -5
(a x b) = 3 x (-2) = -6
(b x a) = -2 x 3 = -6
(a x b) x c = (3 x (-2)) x (-5)
= -6 x (-5) = 30
a x (b x c) = 3 x (-2 x (-5))
= 3 x 10 = 30
5. Diketahui a = -4, b = -6, c = -7
(a x b) = -4 x (-6) = 24
(b x a) = -6 x (-4) = 24
(a x b) x c = (-4 x (-6)) x (-7)
= 24 x (-7) = -168
a x (b x c) = -4 x (-6 x (-7))
= -4 x 42 = -168
sumber : http://www.saibatin.com/2015/02/bilangan-bulat.html
0 komentar:
Posting Komentar